જો $f(x) = \sqrt {{x^2} + x}  + \frac{{{{\tan }^2}\alpha }}{{\sqrt {{x^2} + x} }},\alpha  \in (0,\pi /2),x > 0$ તો $f(x)\,\,\geq$ . . .  

બે સંખ્યાઓ વચ્ચેના બે ગુણોત્તર મધ્યકો $G_1$ અને $G_2$ છે તથા સમાંતર મધ્યક $A$ છે, તો $\frac{{G_1^2}}{{{G_2}}} + \frac{{G_2^2}}{{{G_1}}}$ નું મૂલ્ય મેળવો.

જો $a, b, c$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે અને $4a, 5b, 4c$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે કે જેથી  $a + b + c = 70$, હોય તો $a^3 + b^3 + c^3$ ની કિમત મેળવો 

જો બે સંખ્યા $a$ અને $b$ વચ્ચેનો સ્વરિત અને સમગુણોતર મધ્યકનો ગુણોતર $4:5$ હોય તો તે બે સંખ્યાનો ગુણોતર મેળવો.

જો $x, y, z \in R^+$ એવા છે કે જેથી $x + y + z = 4$, હોય તો $xyz^2$ ની મહત્તમ શક્ય કિમત મેળવો 

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a^{-5}, a^{-4}, 3a^{-3}, 1, a^8$ અને $a^{10}$ જ્યાં $a > 0$ ના સરવાળાનું લઘુત્તમ મૂલ્ય કેટલું થાય ?